Courant Research Centre ´´Higher Order Structures in Mathematics´´

Forschung im Courant Zentrum

Die Mathematik als Wissenschaft und kulturelle Errungenschaft hat viele Facetten.

In den letzten einhundert Jahren waren die Identifikation und Anwendung von mathematischen Strukturen von besonderer Bedeutung. Auf diese Art und Weise wurde Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts das Gebiet der Algebra in Göttingen revolutioniert.

Heute leben wir in einer Zeit, in der viele verschiedene Gebiete der Mathematik enger zusammen gerückt sind, Verfahren und Ideen untereinander ausgetauscht werden. Innerhalb dieses Prozesses treten neue Probleme auf, zum Beispiel wenn die „flexible“ Welt der Topologie und Geometrie in der „starren“ Welt der Zahlentheorie angewendet wird.

Zurzeit mangelt es noch am Verständnis der umfassenden Strukturen, die dies effizient möglich machen.

Als ein weiteres konkretes Beispiel können wir die Verbindung zwischen Mathematik und Physik benennen; in der Geschichte war dies immer eine echte Symbiose: Die Physik ist auch für innermathematische Entwicklungen der wichtigste Anstoß gewesen, im Gegenzug hat die Mathematik immer als „Sprache der Physik“ gedient. Eine der wichtigsten akuten Fragen der heutigen Physik ist die Verbindung der allgemeinen Theorie der Gravitation (Einsteins Relativitätstheorie) und der Quantenphysik. Es ist sehr wahrscheinlich, dass komplett neue mathematische Strukturen nötig sind, dies zu ermöglichen.

Dies sind zwei Beispiele wie Mathematik an neuen Grenzen kämpft. Wir sind überzeugt, dass Entwicklung und Studien von neuen „Strukturen höherer Ordnung in der Mathematik“ die notwendige Lösung der dabei auftretenden Probleme sind.

Das Courant Forschungs Zentrum „Strukturen höherer Ordnung in der Mathematik“ besteht aus ungefähr einem Duzend Professoren und Wissenschaftlern. Die Eckpfeiler sind die Nachwuchsforschungsgruppen, die gemeinsam die Forschung voran bringen.

Bis Januar 2011 war Prof. Dr. Hannah Markwig Leiterin der Gruppe „Tropische Algebraische Geometrie“, welche auch apl. Prof. Hans-Christian Graf von Bothmer einschließt. Diese Gruppe erforscht, wie man die „flexible“ Geometrie in „starren“ Gebieten wie der Zahlentheorie anwenden kann. Eines der weitreichenden Ziele ist, mehr über die Spiegelsymmetrie (angeregt durch die String-Theorie der Physik) zu verstehen.

Die Nachwuchsgruppe „Höhere Differentialgeometrie“ wird von Prof. Dr. Chenchang Zhu geleitet. Sie erforscht „verteilte Symmetrien“ in der Geometrie, insbesondere deren analytische Aspekte. Ziel ist die Klassifizierung und Anwendung dieser Symmetrien in und später auch außerhalb der Mathematik.

Die Gruppe „Mathematische Physik“ von Prof. Dr. Dorothea Bahns wendet neue Methoden an, wie zum Beispiel die sogenannte nicht-kommutative Geometrie, um mathematische Modelle zu entwickeln, welche auf lange Sicht helfen sollen, Quantenphysik und Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie zu vereinigen.

• Nichtkommutative Geometrie (Zhu, Bahns, Meyer, Schick)
  
• Quantenfeldtheorie (Bahns, Buchholz, Rehren)
  
• Mathematische Physik (Zhu, Buchholz, Rehren, Witt, Bahns)
  
• Kategorientheorie (Zhu, Meyer, Bartholdi)
  
• Algebraischer Geometrie (Markwig, von Bothmer)
  
• Differentialgeometrie (Zhu, Bahns, Schick)
  
• Zahlentheorie (Mihailescu, Patterson, Blomer, Brüdern)